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arXiv:2503.13337v1 [math.AC] 17 Mar 2025 THE SCARF COMPLEX OF SQUAREFREE POWERS, SYMBOLIC POWERS OF EDGE IDEALS, AND COVER IDEALS OF GRAPHS TRUNG CHAU, NURSEL EREY, AND ARYAMAN MAITHANI Abstract. Every monomial ideal I has a Scarf complex, which is a subcomplex of its minimal free resolution. We say that I is Scarf if its Scarf complex is also its minimal free resolution. In this paper, we fully characterize all pairs (G, n) of a graph G and an integer n such that the squarefree power I(G)[n] or the symbolic power I(G)(n) of the edge ideal I(G) is Scarf. We also determine all graphs G such that its cover ideal J(G) is Scarf, with an explicit description when G is either chordal or bipartite. 1. Introduction The study of homological invariants, e.g., Betti numbers and (Castelnuovo-Mumford) reg- ularity, of monomial ideals have played a central role in Commutative Algebra over the past few decades due to its natural connection to combinatorial objects, particularly graphs. Let G = (V (G), E(G)) be a finite simple graph. The edge ideal I(G) of G is an ideal of the polyno- mial ring S = k[V (G)] and is generated by the monomials xy where {x, y} ∈E(G). The cover ideal of G, denoted by J(G), is defined as the ideal generated by the monomials Q x∈W x where W is a vertex cover of G. Edge ideals and cover ideals have been studied intensively due to their simple constructions and direct connection to Graph Theory and Combinatorics. We refer to [26] and [34] for some surveys on the subject. Homological invariants of monomial ideals can be read offtheir minimal free resolutions. Unfortunately, the study of minimal free resolutions, or one can say the study of syzygies, is notoriously difficult in general. In the case of monomial ideals, there are many general constructions for free resolutions (cf. [1, 2, 8, 9, 21, 27, 28, 32]), albeit they are not always minimal. Bayer, Peeva, and Sturmfels [3] constructed Scarf complex of a given monomial ideal, inspired by the work of Herbert Scarf in mathematical economics [22]. It is known that for a monomial ideal I, its Scarf complex is a subcomplex of its minimal free resolution and thus serves as a lower bound for it. The ideal I is called Scarf if this lower bound is achieved. Bayer, Peeva, and Sturmfels in [3] proved that generic monomial ideals are Scarf, and most monomial ideals are generic. However, some of the most interesting monomial ideals, e.g., squarefree monomial ideals, or their powers, are rarely generic. Thus, a classification of when these ideals are Scarf remains a mystery. Scarf ideals have been studied from different perspectives since [4, 37] and made a recent comeback with some articles on extremal ideals [7, 11] which are conjectured to be Scarf. Regarding edge ideals and their powers, a full characterization of Scarfness of I(G)n was recently given in [15] for any connected graph G and any positive integer n. The goal …더보기
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번역 (Translation):
ARXIV : 2503.13337V1 [Math.AC] 17 MAR 2025 년 3 월 17 일 정사각형 파워, 가장자리 이상의 상징적 힘, 그리고 Trung Chau, Nursel Ery 및 Aryaman Maithani Abstract의 이상의 이상. 모든 단순적인 이상적인 I에는 스카프 단지가 있으며, 이는 최소한의 자유 해상도의 하위 컴플렉스입니다. 스카프 단지가 최소한의 자유 해상도라면 스카프라고 말합니다. 이 논문에서, 우리는 정사각형 파워 I (g) [n] 또는 가장자리 이상 I (g)의 상징적 힘 I (g) (n)가 스카프가되도록 모든 쌍 (g, n)을 완전히 특성화합니다. 우리는 또한 모든 그래프 G를 결정하여 이상적인 j (g)가 스카프가되도록 G를 결정합니다. 1. 소개 소개 상사 불일치 연구, 예를 들어, Betti 수 및 (Castelnuovo-Mumford) 규정에 대한 연구는 단점 이상의 역동적 인 개체, 특히 그래프와 자연스럽게 연결되어 지난 수십 년 동안 정류 대수에서 중심적인 역할을 해왔다. g = (v (g), e (g))를 최악의 간단한 그래프로하자. g의 가장자리 이상적인 I (g)는 다항식 고리 S = k [v (g)]에 이상적이며 {x, y} ∈E (g)에서 단량체 xy에 의해 생성됩니다. j (g)로 표시된 G의 표지 이상은 단량체 q x∈W x에 의해 생성 된 이상으로 정의됩니다. 여기서 w는 G. Edge 이상 및 커버 이상의 정점 커버 인 간단한 구성과 그래프 이론 및 조합에 직접 연결되어 집중적으로 연구되었습니다. 우리는 주제에 대한 일부 설문 조사에 대해 [26]과 [34]를 언급합니다. 단점 이상의 상 동성 불변은 최소한의 자유 해상도를 읽을 수 있습니다. 불행히도, 최소한의 자유 해상도에 대한 연구 또는 syzygies에 대한 연구는 일반적으로 악명 높다. 단점 이상의 경우, 항상 최소한은 아니지만 자유 해결에 대한 일반적인 구성이 많이 있습니다 (참조, [1, 2, 8, 9, 21, 27, 28, 32]). Bayer, Peeva 및 Sturmfels [3]는 수학 경제학에서 Herbert Scarf의 작품에서 영감을 얻은 주어진 단일 이상의 스카프 복합체를 구성했습니다 [22]. 단점 이상 I의 경우, 스카프 복합체는 최소한의 자유 해상도의 하위 컴플렉스이므로 하한 역할을합니다. 이 하한이 달성되면 이상적인 것을 스카프라고합니다. [3]의 Bayer, Peeva 및 Sturmfels는 일반적인 단점 이상이 스카프임을 증명했으며 대부분의 단점 이상은 일반적입니다. 그러나 가장 흥미로운 단순 이상 (예 : 정사각형 단량체 이상) 또는 그 힘은 거의 일반적이지 않습니다. 따라서 이러한 이상이 스카프 일 때의 분류는 여전히 미스터리로 남아 있습니다. 스카프 이상은 [4, 37] 이후 다른 관점에서 연구되었으며 스카프로 추측되는 극단적 인 이상 [7, 11]에 관한 일부 기사와 함께 최근의 복귀를 만들었습니다. 가장자리 이상과 그 힘에 관해, I (g) n의 스카프 니스의 전체 특성화는 최근에 연결된 그래프 G 및 양의 정수 n에 대해 [15]에 주어졌다. 목표 … 더보기
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