요약본 (Summary):

This paper investigates the discrete Painlevé XXXIV hierarchy arising from the gap probability distributions of Freud unitary ensembles. The authors consider symmetric gap probability distributions and show that they are related to Hankel determinants generated by Freud weights supported on the complement of a symmetric interval.

The study utilizes Chen and Ismail’s ladder operator approach to obtain difference equations satisfied by the recurrence coefficients for orthogonal polynomials with discontinuous Freud weights. It is shown that these equations, with a minor change of variables, are the discrete Painlevé XXXIV hierarchy proposed by Cresswell and Joshi. The paper also derives differential-difference equations for the recurrence coefficients and establishes a relationship between the logarithmic derivative of the gap probabilities, the nontrivial leading coefficients of the monic orthogonal polynomials, and the recurrence coefficients.

The findings could have applications in the study of random matrix theory and orthogonal polynomials, as well as connections to other areas such as number theory and mathematical physics.

이 논문은 프로이트 단일 앙상블의 갭 확률 분포에서 발생하는 개별 진통제 XXXIV 계층 구조를 조사합니다. 저자는 대칭 갭 확률 분포를 고려하고 대칭 간격의 보완에 지원되는 프로이트 가중치에 의해 생성 된 손질 결정 인자와 관련이 있음을 보여줍니다.

이 연구는 Chen과 Ismail의 사다리 운영자 접근법을 활용하여 불연속 프로이트 가중치를 가진 직교 다항식에 대한 재발 계수에 의해 만족되는 차이 방정식을 얻습니다. 변수의 약간의 변화가있는이 방정식은 Cresswell과 Joshi가 제안한 개별 진통제 XXXIV 계층 인 것으로 나타났습니다. 이 논문은 또한 재발 계수에 대한 차등-차이 방정식을 도출하고 갭 확률의 로그 유도체, 모닉 직교 다항식의 사소한 주요 계수 및 재발 계수 사이의 관계를 확립한다.

그 결과는 랜덤 매트릭스 이론 및 직교 다항식 연구에 적용 할 수있을뿐만 아니라 숫자 이론 및 수학 물리와 같은 다른 영역과의 연결을 가질 수 있습니다.

Excerpt from PDF:

arXiv:2412.18782v1 [nlin.SI] 25 Dec 2024 The discrete Painlev´e XXXIV hierarchy arising from the gap probability distributions of Freud unitary ensembles Chao Min∗and Liwei Wang† December 25, 2024 Abstract We consider the symmetric gap probability distributions of certain Freud unitary ensembles. This problem is related to the Hankel determinants generated by the Freud weights supported on the com- plement of a symmetric interval. By using Chen and Ismail’s ladder operator approach, we obtain the difference equations satisfied by the recurrence coefficients for the orthogonal polynomials with the discontinuous Freud weights. We find that these equations, with a minor change of variables, are the discrete Painlev´e XXXIV hierarchy proposed by Cresswell and Joshi [J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 655–669]. We also derive the differential-difference equations for the recurrence coefficients and show the relationship between the logarithmic derivative of the gap probabilities, the nontrivial leading coefficients of the monic orthogonal polynomials and the recurrence coefficients. Keywords: Freud unitary ensembles; Gap probabilities; Orthogonal polynomials; Ladder operators; Recurrence coefficients; Discrete Painlev´e XXXIV hierarchy. Mathematics Subject Classification 2020: 60B20, 42C05. 1 Introduction Consider a random matrix ensemble on the space of n × n Hermitian matrices M with the probability distribution 1 Zn e−Tr v0(M)dM, dM = n Y i=1 dMii Y 1≤i

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번역 (Translation):

ARXIV : 2412.18782V1 [nlin.si] 2024 년 12 월 25 일 2024 년 12 월 25 일 프로이트 단일 앙상블 chao min * 및 liwei wang † 2024 년 12 월 25 일 초록의 공상적 인 갭 확률 분포를 고려합니다. 이 문제는 대칭 간격의 구성에서 지원되는 프로이트 가중치에 의해 생성 된 손님 결정 요인과 관련이 있습니다. Chen과 Ismail의 사다리 운영자 접근법을 사용함으로써, 우리는 불연속 프로이트 무게를 가진 직교 다항식에 대한 재발 계수에 의해 충족 된 차이 방정식을 얻습니다. 우리는 변수의 작은 변화가있는 이러한 방정식이 Cresswell과 Joshi가 제안한 개별 진통제 xxxiv 계층입니다 [J. 물리 A : 수학. Gen. 32 (1999) 655–669]. 우리는 또한 재발 계수에 대한 차이 간주 방정식을 도출하고 갭 확률의 로그 유도체, 원발 직교 다항식의 비 사소한 선도 계층과 재발 계열 사이의 관계를 보여줍니다. 키워드 : 프로이트 단일 앙상블; 갭 확률; 직교 다항식; 사다리 운영자; 재발 계수; 불연속 진피 xxxiv 계층. 수학 주제 분류 2020 : 60B20, 42C05. 1 소개 확률 분포 1 Zn e -tr v0 (m) dm, dm = n y i = 1 dmii y 1≤i

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