요약본 (Summary):
This paper studies the dual space of continuous linear functionals on C(X), the space of continuous real-valued functions on a metric space (X, d) equipped with the topology τB of uniform convergence on a bornology B. The authors investigate when the dual spaces of (C(X), τB) and (C(X), τsB) coincide, where τsB is the topology of strong uniform convergence on B. They also examine the relationship between the operator norm topology and τucb, the topology of uniform convergence on bounded subsets. The paper introduces a topology σ on measures that shares a connection with the dual spaces of (C(X), τB)∗and(C(X), τsB)∗when endowed with τucb.
The authors show that the dual spaces of (C(X), τB) and (C(X), τsB) may differ, as demonstrated by an example. They also explore the normability of τucb on the dual spaces of (C(X), τB)∗and(C(X), τsB)∗. Finally, they introduce a topology σ on measures that shares a connection with these dual spaces. Overall, the paper provides new insights into the structure and properties of the dual spaces of continuous linear functionals on C(X) with respect to different bornologies B.
이 논문은 C (x)에 대한 연속 선형 함수의 이중 공간, 메트릭 공간 (X, D)에 대한 연속 값 함수의 공간을 연구한다. B. 그들은 또한 운영자 규범 토폴로지와 τUCB, 균일 한 서브 세트에 대한 균일 한 수렴의 토폴로지 사이의 관계를 조사합니다. 이 논문은 τucb가 부여 될 때 (c (x), τb) * 및 (c (x), τsb)의 이중 공간과 연결을 공유하는 측정에 대한 토폴로지 σ를 소개합니다.
저자는 예제에 의해 입증 된 바와 같이 (c (x), τb) 및 (c (x), τsb)의 이중 공간이 다를 수 있음을 보여준다. 또한 (c (x), τb) * 및 (c (x), τsb)의 이중 공간에서 τucb의 규범 성을 탐구합니다. 마지막으로, 그들은 이러한 이중 공간과 연결을 공유하는 측정에 대한 토폴로지 σ를 소개합니다. 전반적으로,이 논문은 다른 Bornologies B와 관련하여 C (x)에 연속 선형 기능의 이중 공간의 구조와 특성에 대한 새로운 통찰력을 제공합니다.
Excerpt from PDF:
arXiv:2412.19277v1 [math.FA] 26 Dec 2024 A STUDY ON THE DUAL OF C(X) WITH THE TOPOLOGY OF (STRONG) UNIFORM CONVERGENCE ON A BORNOLOGY AKSHAY KUMAR Abstract. This article begins by deriving a measure-theoretic decompo- sition of continuous linear functionals on C(X), the space of all real-valued continuous functions on a metric space (X, d), equipped with the topology τB of uniform convergence on a bornology B. We characterize the bornolo- gies for which (C(X), τB)∗= (C(X), τ s B)∗, where τ s B represents the topology of strong uniform convergence on B. Furthermore, we examine the norma- bility of τucb, the topology of uniform convergence on bounded subsets, on (C(X), τB)∗, and explore its relationship with the operator norm topology. Finally, we derive a topology on measures that shares a connection with (C(X), τB)∗when endowed with τucb. 1. Introduction and Preliminaries 1.1. Introduction. Let C(X) be the space of real-valued continuous func- tions on a metric space (X, d). On C(X), the classical topology of uniform convergence on a bornology B, usually denoted by τB, has garnered signifi- cant attention from many mathematicians over the past several decades (see, [4, 5, 9, 21]). It is known that if B = K, the collection of all non-empty relatively compact subsets of X, then (C(X), τk) forms a locally convex space. Moreover, the dual (C(X), τk)∗is isometrically isomorphic to the space of all closed regular finite Borel measures on X with compact supports (see, Theorem 2.4.1, p. 88 in [1]). For a general bornology B, (C(X), τB) may not necessarily form a topological vector space, as the scalar multiplication may fail to be jointly continuous. However, as shown in [23], (C(X), τB) is always an extended locally convex space (elcs), which allows for the study of its dual space. 2010 Mathematics Subject Classification. Primary: 54C35, 54C40, 46A16; Secondary: 28A33, 54D70. Key words and phrases. Bornologies, topology of (strong) uniform convergence on a bornology, compact-open topology, extended locally convex spaces, topology of uniform convergence on bounded sets, Borel measures supported on bornology. This work is supported by IIT Madras (Project No. SB22231267MAETWO008573). 1 2 AKSHAY KUMAR This paper is organized into four sections. Following a necessary prelimi- nary details, the second section develops a decomposition of continuous linear functionals on (C(X), τB) in terms of closed, regular, finite Borel measures supported on B. In the third section, we compare the dual spaces of (C(X), τB) and (C(X), τ s B), where τ s B denotes the topology of strong uniform convergence on the bornology B. This topology was defined by Beer and Levi in [5] and has been further ex- plored by many people (see, [7, 8, 9]). We provide an example demonstrating that the duals of these spaces may differ (see, Example 3.2). Additionally, in Theorem 3.3, we find conditions under which both the spaces share the same dual. Since (C(X), τB) forms a locally convex space for B ⊆K, the natural topol- ogy on (C(X), τB)∗is the topology τucb of uniform convergence …더보기
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번역 (Translation):
Arxiv : 2412.19277v1 [Math.fa] 26 12 월 26 일 Bornology Akshay Kumar Abstract에 대한 (강한) 균일 한 수렴의 토폴로지를 가진 C (x)의 이중에 관한 연구. 이 기사는 C (x)에 대한 연속 선형 함수의 측정 이론적 탈출을 도출함으로써 시작됩니다. Bornology B에 대한 균일 한 수렴의 토폴로지 τb가 장착 된 메트릭 공간 (x, d)에 대한 모든 실제 값 연속 함수의 공간을 도출함으로써 시작됩니다. 또한 B에 대한 강한 균일 수렴의 토폴로지를 나타냅니다. 또한, 우리는 τucb의 규범, (c (x), τb)에 대한 균일 한 수렴의 토폴로지를 조사하고 운영자 규범 토폴로지와의 관계를 탐색합니다. 마지막으로, 우리는 τucb가 부여 될 때 (c (x), τb) *와 연결을 공유하는 측정에 대한 토폴로지를 도출합니다. 1. 소개 및 예비 예비 1.1. 소개. c (x)를 메트릭 공간 (x, d)에서 실제 값 연속 기능의 공간으로 둡니다. C (x)에서, 일반적으로 τb로 표시되는 Bornology B에 대한 균일 한 수렴의 고전적인 토폴로지는 지난 수십 년 동안 많은 수학자들로부터 중요한 관심을 끌었습니다 ([4, 5, 9, 21] 참조). B = k 인 경우 X의 비어 있지 않은 비교적 소형 서브 세트의 수집은 (C (x), τk)가 로컬로 볼록한 공간을 형성하는 것으로 알려져 있습니다. 또한, 이중 (c (x), τk) *는 소형 지지대가있는 X의 모든 닫힌 정기적 인 유한 보렐 측정 공간에 동형 적으로 동형입니다 ([1]의 정리 2.4.1, p. 88 참조). 일반적인 Bornology B의 경우, (c (x), τb)는 스칼라 곱셈이 공동으로 연속적이지 않을 수 있기 때문에 반드시 토폴로지 벡터 공간을 형성 할 필요는 없습니다. 그러나, [23]에 도시 된 바와 같이, (c (x), τb)는 항상 확장 된 국부적으로 볼록한 공간 (ELC)으로, 이중 공간을 연구 할 수있게한다. 2010 수학 주제 분류. 1 차 : 54C35, 54C40, 46A16; 보조 : 28A33, 54D70. 핵심 단어와 문구. Bornologies, Bornology에 대한 (강한) 균일 한 수렴의 토폴로지, 소형 개방 토폴로지, 확장 된 로컬 볼록 공간, 경계 세트에 대한 균일 한 수렴의 토폴로지, Bornology에서 지원되는 Borel 측정. 이 작업은 IIT Madras (프로젝트 번호 SB22231267MAETWO008573)가 지원합니다. 1 2 Akshay Kumar이 논문은 4 개의 섹션으로 구성되어 있습니다. 필요한 예비 세부 사항에 따라, 두 번째 섹션은 B에서 지원되는 폐쇄, 규칙적, 유한성 보렐 측정 측면에서 (c (x), τb)에서 연속 선형 함수의 분해를 개발합니다. 세 번째 섹션에서는 (c (x) 및 τb), τ s b)의 이중 공간을 비교합니다. 토폴로지는 [5]에서 맥주와 레비에 의해 정의되었으며 많은 사람들이 더 발전했습니다 ([7, 8, 9] 참조). 우리는이 공간의 듀얼이 다를 수 있음을 보여주는 예를 제공합니다 (예 3.2 참조). 또한 정리 3.3에서, 우리는 두 공간이 동일한 듀얼을 공유하는 조건을 찾습니다. (c (x), τb)는 b ⊆k를위한 국부적으로 볼록한 공간을 형성하기 때문에 (c (x), τb)의 자연적인 토폴리는 균일 수렴의 토폴로지 τucb입니다 …
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