Summary (English)
This scientific paper focuses on the study of modified Euler schemes for stochastic differential equations (SDEs) with super-linearity.
The authors propose a general framework for these schemes, which can be applied to various numerical methods like tamed Euler and truncated Euler schemes.
They demonstrate geometric ergodicity under several probability distances using approaches such as refined basic coupling and coupling by reflection.
The paper also provides an L1-Wasserstein error bound between the exact invariant probability measure of an SDE with super-linearity and its numerical counterpart, the invariant probability measure of the tamed Euler scheme.
The authors propose a general framework for these schemes, which can be applied to various numerical methods like tamed Euler and truncated Euler schemes.
They demonstrate geometric ergodicity under several probability distances using approaches such as refined basic coupling and coupling by reflection.
The paper also provides an L1-Wasserstein error bound between the exact invariant probability measure of an SDE with super-linearity and its numerical counterpart, the invariant probability measure of the tamed Euler scheme.
요약 (Korean)
이 과학적 논문은 초고성을 갖는 확률 적 미분 방정식 (SDE)에 대한 수정 된 오일러 체계 연구에 중점을 둡니다.
저자는 이러한 체계에 대한 일반적인 프레임 워크를 제안하며, 이는 길들인 Euler 및 잘린 오일러 방식과 같은 다양한 수치 방법에 적용될 수 있습니다.
그것들은 정제 된 기본 커플 링 및 반사에 의한 커플 링과 같은 접근법을 사용하여 여러 확률 거리에서 기하학적 인체 성을 보여줍니다.
이 논문은 또한 초광도를 갖는 SDE의 정확한 불변 확률 측정 및 수치 적 대응 물, 길들인 Euler 체계의 불변 확률 측정 값 사이에 L1-Wasserstein 오류를 제공합니다.
저자는 이러한 체계에 대한 일반적인 프레임 워크를 제안하며, 이는 길들인 Euler 및 잘린 오일러 방식과 같은 다양한 수치 방법에 적용될 수 있습니다.
그것들은 정제 된 기본 커플 링 및 반사에 의한 커플 링과 같은 접근법을 사용하여 여러 확률 거리에서 기하학적 인체 성을 보여줍니다.
이 논문은 또한 초광도를 갖는 SDE의 정확한 불변 확률 측정 및 수치 적 대응 물, 길들인 Euler 체계의 불변 확률 측정 값 사이에 L1-Wasserstein 오류를 제공합니다.
기술적 용어 설명 (Technical Terms)
추출된 기술 용어가 없습니다.
Excerpt (English Original)
GEOMETRIC ERGODICITY OF MODIFIED EULER SCHEMES FOR SDES WITH SUPER-LINEARITY JIANHAI BAO MATEUSZ B.
MAJKA JIAN WANG Abstract.
As a well-known fact, the classical Euler scheme works merely for SDEs with coeffi- cients of linear growth.
In this paper, we study a general framework of modified Euler schemes, which is applicable to SDEs with super-linear drifts and encompasses numerical methods such as the tamed Euler scheme and the truncated Euler scheme.
On the one hand, by exploiting an approach based on the refined basic coupling, we show that all Euler recursions within our proposed framework are geometrically ergodic under a mixed probability distance (i.e., the total variation distance plus the L1-Wasserstein distance) and the weighted total variation distance.2024 On the other hand, by utilizing the coupling by reflection, we demonstrate that the tamed Euler scheme is geometrically ergodic under the L1-Wasserstein distance.
In addition, as an important application, we provide a quantitative L1-Wasserstein error bound between the exact invariantDec probability measure of an SDE with super-linearity, and the invariant probability measure of the 26 tamed Euler scheme which is its numerical counterpart.
Keywords: Geometric ergodicity; mixed probability distance; weighted total variation distance; L1-Wasserstein distance; modified Euler scheme; refined basic coupling; coupling by reflection MSC 2020: 65C30; 65C40; 60J22; 60J05 1.
Introduction and main result[math.PR] In the past few decades, there have been significant advances in the area of numerical approx- imations for SDEs.
As far as the convergence analysis in a finite-time horizon is concerned, the theory has progressed well beyond the classical Euler-Maruyama (EM) scheme, and we refer to [3, 10] for the backward EM scheme, [11, 13, 27] regarding the tamed EM scheme, [14, 17, 23] concerning the truncated EM method, and [12, 26] with regard to the adaptive EM scheme, to name just a few.
For results…
MAJKA JIAN WANG Abstract.
As a well-known fact, the classical Euler scheme works merely for SDEs with coeffi- cients of linear growth.
In this paper, we study a general framework of modified Euler schemes, which is applicable to SDEs with super-linear drifts and encompasses numerical methods such as the tamed Euler scheme and the truncated Euler scheme.
On the one hand, by exploiting an approach based on the refined basic coupling, we show that all Euler recursions within our proposed framework are geometrically ergodic under a mixed probability distance (i.e., the total variation distance plus the L1-Wasserstein distance) and the weighted total variation distance.2024 On the other hand, by utilizing the coupling by reflection, we demonstrate that the tamed Euler scheme is geometrically ergodic under the L1-Wasserstein distance.
In addition, as an important application, we provide a quantitative L1-Wasserstein error bound between the exact invariantDec probability measure of an SDE with super-linearity, and the invariant probability measure of the 26 tamed Euler scheme which is its numerical counterpart.
Keywords: Geometric ergodicity; mixed probability distance; weighted total variation distance; L1-Wasserstein distance; modified Euler scheme; refined basic coupling; coupling by reflection MSC 2020: 65C30; 65C40; 60J22; 60J05 1.
Introduction and main result[math.PR] In the past few decades, there have been significant advances in the area of numerical approx- imations for SDEs.
As far as the convergence analysis in a finite-time horizon is concerned, the theory has progressed well beyond the classical Euler-Maruyama (EM) scheme, and we refer to [3, 10] for the backward EM scheme, [11, 13, 27] regarding the tamed EM scheme, [14, 17, 23] concerning the truncated EM method, and [12, 26] with regard to the adaptive EM scheme, to name just a few.
For results…
발췌문 (Korean Translation)
초선형성 Jianhai Bao Mateusz B.
Majka Jian Wang Abstract를 갖는 SDE에 대한 수정 된 오일러 체계의 기하학적 인증.
잘 알려진 사실로서, 고전적인 Euler 체계는 단순히 선형 성장의 계층과 SDE에만 작용합니다.
이 논문에서, 우리는 수정 된 실러 체계의 일반적인 프레임 워크를 연구하며, 이는 초등 드라이프트가있는 SDE에 적용 할 수 있으며 길들인 Euler 체계 및 절단 된 Euler 구성표와 같은 수치 적 방법을 포함합니다.
한편으로, 재정의 기본 커플 링에 기초한 접근법을 악용함으로써, 우리는 제안 된 프레임 워크 내의 모든 오일러 재귀가 혼합 확률 거리 (즉, 총 변화 거리와 L1- wasserstein 거리에 가중치 거리) 하에서 기하학적으로 어르고 릭임을 보여준다.
오일러 체계는 L1-Wasserstein 거리 하에서 기하학적으로 에르고 드입니다.
또한, 중요한 응용 프로그램으로서, 우리는 초광도를 갖는 SDE의 정확한 불변 확률 측정과 수치 적 대응하는 26 개의 길들인 Euler 구성표의 불변 확률 측정 사이에 정량적 L1-Wasserstein 오류를 제공합니다.
키워드 : 기하학적 인체 성; 혼합 확률 거리; 가중 총 변동 거리; L1-Wasserstein 거리; 수정 된 오일러 체계; 기본 커플 링 재정; 반사에 의한 커플 링 MSC 2020 : 65C30; 65C40; 60J22; 60J05 1.
소개 및 주요 결과 [MATH.PR] 지난 수십 년 동안 SDE에 대한 수치 대략 영역에서 중요한 발전이있었습니다.
유한 한 시간의 수렴 분석에 관한 한, 이론은 고전적인 Euler-Maruyama (EM) 체계를 넘어서 진행되었으며, 우리는 후진 EM 계획에 대해 [3, 10], [11, 13, 27]에 대해 [14, 17, 23], [14, 17, 23], [12, 26] 단지 EM, 26].
결과를 위해 …
Majka Jian Wang Abstract를 갖는 SDE에 대한 수정 된 오일러 체계의 기하학적 인증.
잘 알려진 사실로서, 고전적인 Euler 체계는 단순히 선형 성장의 계층과 SDE에만 작용합니다.
이 논문에서, 우리는 수정 된 실러 체계의 일반적인 프레임 워크를 연구하며, 이는 초등 드라이프트가있는 SDE에 적용 할 수 있으며 길들인 Euler 체계 및 절단 된 Euler 구성표와 같은 수치 적 방법을 포함합니다.
한편으로, 재정의 기본 커플 링에 기초한 접근법을 악용함으로써, 우리는 제안 된 프레임 워크 내의 모든 오일러 재귀가 혼합 확률 거리 (즉, 총 변화 거리와 L1- wasserstein 거리에 가중치 거리) 하에서 기하학적으로 어르고 릭임을 보여준다.
오일러 체계는 L1-Wasserstein 거리 하에서 기하학적으로 에르고 드입니다.
또한, 중요한 응용 프로그램으로서, 우리는 초광도를 갖는 SDE의 정확한 불변 확률 측정과 수치 적 대응하는 26 개의 길들인 Euler 구성표의 불변 확률 측정 사이에 정량적 L1-Wasserstein 오류를 제공합니다.
키워드 : 기하학적 인체 성; 혼합 확률 거리; 가중 총 변동 거리; L1-Wasserstein 거리; 수정 된 오일러 체계; 기본 커플 링 재정; 반사에 의한 커플 링 MSC 2020 : 65C30; 65C40; 60J22; 60J05 1.
소개 및 주요 결과 [MATH.PR] 지난 수십 년 동안 SDE에 대한 수치 대략 영역에서 중요한 발전이있었습니다.
유한 한 시간의 수렴 분석에 관한 한, 이론은 고전적인 Euler-Maruyama (EM) 체계를 넘어서 진행되었으며, 우리는 후진 EM 계획에 대해 [3, 10], [11, 13, 27]에 대해 [14, 17, 23], [14, 17, 23], [12, 26] 단지 EM, 26].
결과를 위해 …
출처: arXiv
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