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NAVIGATING THE SPACE OF COMPACT CMC HYPERSURFACES IN SPHERES, PART I OSCAR PERDOMO Abstract. In this paper, we describe a family of embedded hypersurfaces with constant mean curvature (CMC) in the (n + 1)-dimensional unit sphere. In the process, we provide evidence for new CMC embedded examples. In particular, for some examples with H = 0, we verify Yau’s conjecture stating that among the embedded, non-totally umbilical minimal hypersurfaces in spheres, the Clifford hypersurfaces have the least area. 1. Introduction For any positive integer m, we denote by Sm the unit m-dimensional sphere in the Euclidean space Rm+1. This paper builds upon results from the following works: • [2], where the authors establish the existence of minimal immersions Sl × Sl × S1 → S2k+1. • [5], where the authors show the existence of CMC immersions of Sl × Sl × S1 −→ S2k+1. • [8], in which minimal immersions Sk × Sl × S1 →Sk+l+1 are studied and a method is developed to compute the spectra of both the stability and Laplace operators. In this paper, we continue the study initiated in [8] of CMC hypersurfaces in spheres. We present evidence that for every pair (k, l) there exists a continuous one-parameter family of embedded hypersurfaces with constant mean curvature H in Sn+1, where n = k + l + 1. In this family, the parameter H takes values in an interval of the form [Hmin nℓ, ∞) with Hmin nℓ < 0, and every negative value (except Hmin nℓ) is attained twice. More precisely, the family begins with CMC hypersurfaces whose mean curvature H is neg- ative and close to zero. These hypersurfaces resemble Kapouleas’ construction: they feature two “catenoidal necks.” In this configuration, one neck is topologically of the form Sk×(−1, 1) and the other is of the form Sl ×(−1, 1). As the parameter varies, the family transitions into embeddings of Sk×Sl×S1 in which none of the three spherical factors have their radii “near” zero. In this regime, H decreases from negative values close to zero to the minimum possible value in the family, Hmin nℓ < 0; then H continues to increase, passing through H = 0 (the only minimal embedding in the family), and finally, as H tends to infinity, the hypersurfaces resemble the Cartesian product of an (n−1)-dimensional Clifford hypersurface with a closed curve of very small length. There are many interesting questions regarding the volume of compact (without boundary) minimal hypersurfaces in spheres. It is known that the totally geodesic Sm−1 in Sm has the smallest volume among all such hypersurfaces. In other words, if we denote by σm the Date: March 19, 2025. 1 arXiv:2503.13823v1 [math.DG] 18 Mar 2025 2 OSCAR PERDOMO volume of the unit m-dimensional sphere, then every minimal non-totally geodesic compact hypersurface M ⊂Sn+1 (without boundary) has volume greater than σn. It has been conjectured by Yau (page 288 of [14]) that among all compact minimal hyper- surfaces in Sn+1 that are not totally geodesic, the second lowest ...더보기
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번역 (Translation):
구체에서 소형 CMC 과자의 공간을 탐색, Part I Oscar Perdomo Abstract. 이 논문에서 우리는 (n + 1)-차원 단위 구체에 일정한 평균 곡률 (CMC)을 갖는 임베디드 초 저술가를 설명합니다. 이 과정에서 우리는 새로운 CMC 임베디드 사례에 대한 증거를 제공합니다. 특히, h = 0의 일부 예에서, 우리는 구체의 내장 된 비대형 최소 과과방 중에서 Clifford hypersurfaces가 가장 적은 영역을 가지고 있다고 말하는 Yau의 추측을 확인합니다. 1. 소개 긍정적 인 정수 m에 대해, 우리는 유클리드 공간 rm+1의 단위 m 차원 구체를 SM으로 나타냅니다. 이 논문은 다음 작품의 결과를 기반으로합니다. • [2] 저자는 최소 침수 SL × SL × S1 → S2K+1의 존재를 확립합니다. • [5], 저자는 SL × SL × S1 – → S2K+1의 CMC 침지의 존재를 보여줍니다. • [8], 최소 침수 SK × SL × S1 → SK+L+1이 연구되고 안정성 및 Laplace 연산자의 스펙트럼을 계산하는 방법이 개발된다. 이 논문에서 우리는 구체의 CMC hypersurfaces의 [8]에서 시작된 연구를 계속한다. 우리는 모든 쌍 (k, l)에 대해 sn + 1에서 일정한 평균 곡률 H를 가진 임베디드 hypersurfaces의 연속적인 1 패러 미터 패밀리가 존재한다는 증거를 제시합니다. 더 정확하게는, 가족은 평균 곡률 H가 부정적이고 0에 가까운 CMC 초기 공간으로 시작합니다. 이 과부색은 Kapouleas의 건축과 비슷합니다. 두 개의 “Catenoidal Necks”가 특징입니다. 이 구성에서 한 목은 토폴로지로 SK × (-1, 1) 형태이며 다른 목은 SL × (-1, 1) 형태입니다. 파라미터가 변함에 따라, 패밀리는 SK × SL × S1의 임베딩으로 전이되어 세 가지 구형 인자 중 어느 것도 반경을 “가까이”0을 갖지 않는다. 이 정권에서, H는 부정적인 값에서 가족의 가능한 최소 값으로 가까운 음의 값에서 감소한다. 그런 다음 H는 H = 0 (가족의 유일한 최소 임베딩)을 통과하여 계속 증가하고, 마지막으로 H는 무한대로 경향이 있기 때문에, 초자석은 매우 작은 길이의 닫힌 곡선을 가진 (n-1)-차원 클리포드 hypersurface의 직교 제품과 유사합니다. 구체의 소형 (경계없이)의 양에 관한 많은 흥미로운 질문이 있습니다. SM의 완전히 지오 디스 인 SM -1은 그러한 모든 초저 중에서 가장 작은 부피를 갖는 것으로 알려져 있습니다. 다시 말해서, 우리가 σm으로 표시되는 경우 : 2025 년 3 월 19 일. 1 Arxiv : 2503.13823v1 [Math.dg] 18 3 월 2025 년 2 월 2 일 Oscar perdomo 단위 m 차원 구체의 부피 M 차원 구체는 σn보다 더 큰 비가 비 지구질 hyperspace m ⊂sn+1 을가집니다. Yau ([14]의 288 페이지)는 SN+1의 모든 소형 최소과 표면 중에서도 완전히 지구가 아닌 두 번째로 가장 낮은 것입니다.
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