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Accelerating Large-Scale Linear Algebra Using Variational Quantum Imaginary Time Evolution Willie Aboumrad∗, Daiwei Zhu∗, Claudio Girotto∗, François-Henry Rouet†, Jezer Jojo†, Robert Lucas†, Jay Pathak†, Ananth Kaushik∗, Martin Roetteler∗ ∗IonQ Inc., 4505 Campus Dr, College Park, MD 20740, USA †Ansys, Inc., 2600 Ansys Drive, Canonsburg PA 15317, USA Abstract—Graph partitioning techniques enhance the effi- ciency of solving large-scale linear systems in the context of Finite Element Analysis (FEA). Even for systems of linear equations that are highly sparse, their direct solution via fac- torization methods, such as LU or Cholesky decomposition, is computationally expensive due to the introduction of non-zero elements, or “fill-in.” We introduce a quantum approach to the graph partitioning problem based on the variational quantum imaginary time evolution algorithm (VarQITE), allowing to solve the combinatorial optimization problem of reordering of sparse matrices to minimize the fill-in. We develop a hybrid quantum/classical pipeline to accelerate Finite Element solvers by integrating the VarQITE algorithm into the production workflow of Ansys’ industrial software LS-DYNA. This allows to study multiple different types of FEA problems, ranging from mechanical engineering to computational fluid dynamics. We prove out that VarQITE positively impacts LS-DYNA workflows by measuring the wall-clock time to solution of FEA problems when compared against the classical heuristic graph partitioning solver in LS-DYNA. The selected instances cover a range of FEA problems, including simulation of blood pumps, roof crushing of cars, and vibration analysis of cars. We report performance results for our hybrid quantum-accelerated workflow on FEA meshes of up to 5.9M vertices and 55 million edges. We find that the wall clock time of the heuristics solutions used in the industry-grade solver is improved by up to 12%. We also execute the VarQITE algorithm on quantum hardware (IonQ Aria and IonQ Forte) and find that the results are comparable to noiseless and noisy simulations. Finally, we introduce a hybrid technique for post-processing the found solutions with classical refinement heuristics such as Fiduccia-Mattheyses. Our results highlight the impact of quantum computing on large-scale FEA problems. Our results are evidence of potential commercial quantum value within the NISQ era. Keywords—Quantum computing, Quantum imaginary time evo- lution, Finite Element Methods, Finite Elements Analysis. I. INTRODUCTION Solving a linear system Ax = b, with A and b known, is the main computational bottleneck in a number of scientific and commercial computing applications. The matrix A typically is large and sparse, with representative cases having tens to hundreds of millions of rows and columns, yet only a small number of entries per row are non-zero. Such matrices are typically distributed across multiple compute nodes, and only the non-zero entries are stored. These linear systems cannot be solved directly using Gaussian elimination due to large cost. Instead, a variant is used that factors the matrix into upper and lower triangular matrices, allowing the linear system to be easily solved with forward elimination and backward substitution. The factorization step eliminates non-zero entries in the lower triangle of the matrix by subtracting previous rows. Zeroing out one entry often …더보기
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번역 (Translation):
변형 양자 상상의 시간 진화를 사용하여 대규모 선형 대수를 가속화하는 Willie Aboumrad *, Daiwei Zhu *, Claudio Girotto *, François-Henry Rouet †, Jezer Jojo †, Robert Lucas †, Jay Pathak †, Ananth Kaushik haies. 4505 Campus DR, College Park, MD 20740, USA † Ansys, Inc., 2600 ANSYS Drive, Canonsburg PA 15317, USA Abstract— Graph Partitioning Technique는 유한 요소 분석 (FEA)의 맥락에서 대규모 선형 시스템을 해결하는 효율성을 향상시킵니다. 매우 희박한 선형 방정식 시스템의 경우에도 LU 또는 Cholesky Decomposition과 같은 성능이없는 방법을 통한 직접 솔루션은 0이 아닌 요소의 도입 또는 “충전물”으로 인해 계산적으로 비쌉니다. 우리는 변형 양자 상상의 시간 진화 알고리즘 (VARQITE)에 기초하여 그래프 분할 문제에 대한 양자 접근법을 소개하여 희소 행렬의 재정렬에 대한 조합 최적화 문제를 해결하여 충전물을 최소화합니다. Varqite 알고리즘을 ANSYS의 산업 소프트웨어 LS-DYNA의 생산 워크 플로우에 통합하여 유한 요소 솔버를 가속화하기 위해 하이브리드 양자/고전 파이프 라인을 개발합니다. 이를 통해 기계 공학에서 계산 유체 역학에 이르기까지 다양한 유형의 FEA 문제를 연구 할 수 있습니다. 우리는 Varqite가 LS-Dyna의 고전적인 휴리스틱 그래프 분할 솔버와 비교할 때 FEA 문제의 솔루션에 대한 벽 클록 시간을 측정함으로써 LS-Dyna 워크 플로에 긍정적 인 영향을 미친다는 것을 증명합니다. 선택된 인스턴스는 혈액 펌프 시뮬레이션, 자동차의 지붕 분쇄 및 자동차의 진동 분석을 포함한 다양한 FEA 문제를 다룹니다. 우리는 최대 5.9m 정점과 5 천 5 백만 개의 모서리의 FEA 메시에 대한 하이브리드 양자 계급 워크 플로에 대한 성능 결과를보고합니다. 우리는 산업 등급 솔버에 사용되는 휴리스틱 솔루션의 벽 시계 시간이 최대 12%까지 향상된다는 것을 발견했습니다. 또한 Quantum Hardware (IONQ ARIA 및 IONQ FORTE)에서 VARQITE 알고리즘을 실행하고 결과가 소음이없고 시끄러운 시뮬레이션과 비교할 수 있음을 발견했습니다. 마지막으로, 우리는 Fiduccia-Mattheyses와 같은 고전적인 정제 휴리스틱을 사용하여 발견 된 솔루션을 사후 처리하기위한 하이브리드 기술을 소개합니다. 우리의 결과는 대규모 FEA 문제에 대한 양자 컴퓨팅의 영향을 강조합니다. 우리의 결과는 NISQ 시대의 잠재적 상업적 양자 가치의 증거입니다. 키워드- Quantum 컴퓨팅, 양자 상상의 시간 발전, 유한 요소 방법, 유한 요소 분석. I. 소개 A 및 B가 알려진 선형 시스템 AX = B를 해결하는 것은 여러 과학 및 상업용 컴퓨팅 응용 프로그램의 주요 계산 병목 현상입니다. 매트릭스 A는 일반적으로 크고 희박하며, 대표적인 사례는 수십만 행과 열이 있지만 행당 적은 수의 항목 만 0이 아닙니다. 이러한 매트릭스는 일반적으로 여러 컴퓨팅 노드에 배포되며 0이 아닌 항목 만 저장됩니다. 이러한 선형 시스템은 많은 비용으로 가우스 제거를 사용하여 직접 해결할 수 없습니다. 대신, 매트릭스를 상부 및 하부 삼각형 매트릭스로 인자하는 변형이 사용되어 선형 시스템을 전방 제거 및 후진 치환으로 쉽게 해결할 수 있습니다. 인수화 단계는 이전 행을 빼서 매트릭스의 하부 삼각형에서 0이 아닌 항목을 제거합니다. 하나의 항목을 자주 제로 끄는 .
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