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Modelling car-following dynamics with stochastic input-state-output port-Hamiltonian systems Julia Ackermann1, Matthias Ehrhardt1, Thomas Kruse1 and Antoine Tordeux2 1Applied and Computational Mathematics, University of Wuppertal, Germany 2Traffic Safety and Reliability, University of Wuppertal, Germany February 4, 2025 Abstract In this contribution, we introduce a general class of car-following models with an input-state- output port-Hamiltonian structure. We derive stability conditions and long-term behavior of the finite system with periodic boundaries and quadratic interaction potential by spectral analysis and using asymptotic properties of multivariate Ornstein-Uhlenbeck processes. The uncontrolled dynamics exhibit instability and random collective behavior under stochastic perturbations. By implementing an open-loop speed control, the system stabilizes and weakly converges to Gaussian limit distributions. The convergence is unconditional for constant speed control. However, a stability condition arises for the closed-loop system where the speed control acts as a dynamic feedback depending on the distance ahead. The results are illustrated by numerical simulations. Interestingly, only the closed-loop system is able to reproduce, at least transiently, realistic stop-and-go behavior that can be resolved using the Hamiltonian component of the model. AMS classification: 76A30, 82C22, 60H10, 37H30 Keywords: Car-following model, Port-Hamiltonian system, Open-loop system, Closed-loop system, Long- term behavior 1 Introduction Port-Hamiltonian systems (PHS) have become a fundamental framework for modeling and analyzing complex physical systems due to their ability to incorporate energy-based structures and dissipation phenomena. This mathematical paradigm has been widely applied in domains such as robotics, elec- trical circuits, and thermodynamics, where energy conservation and exchange are central to system dynamics [1]. Inspired by recent results of Knorn et al. [2] and Matei et al. [3], we have formu- lated a general class of stochastic car-following models with an input-state-output port-Hamiltonian structure [4, 5, 6]. This port-Hamiltonian formulation introduces a new modeling paradigm for the analysis of car-following dynamics. In this work, we present a novel class of stochastic car-following models formulated within the input-state-output port-Hamiltonian framework. Our approach builds on earlier studies, particu- larly the car-following dynamics explored by Bando et al. [7] and Jiang et al. [8] based on optimal 1 arXiv:2502.00370v1 [math.DS] 1 Feb 2025 velocity functions. However, in contrast to classical approaches where the interaction is totally asym- metric, the port-Hamiltonian car-following models include both vehicles in front and behind in the interaction. By leveraging the PHS formulation, we systematically incorporate noise and external control inputs into the car-following dynamics, thereby enabling a comprehensive analysis of both uncontrolled and controlled traffic systems. This extension provides new insights into stability prop- erties and emergent behaviors such as stop-and-go waves, which are currently observed in real-world traffic and in experiments [9, 10]. The proposed models do not claim to provide a more realistic description of driver behavior. However, they extend previous research by introducing a rigorous mathematical formulation of car-following dynamics as multivariate stochastic differential equations with periodic boundary con- ditions. Notably, the Hamiltonian framework enables us to analyze the asymptotic behavior of these systems, leveraging spectral theory and properties of multivariate Ornstein-Uhlenbeck (OU) pro- cesses. The stochastic nature of the …더보기
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번역 (Translation):
확률 론적 입력 상태 출력 포트-하밀턴 시스템 Julia Ackermann1, Matthias Ehrhardt1, Thomas Kruse1 및 Antoine Tordeux2 1 applied and Computational Mathematics, Wuppertal, University of Wuppertal, wuppertal, 2025, 2025, 2025, 2025, 2025, 2025, 2025, 2025, 2025, 2025 입력 상태 출력 포트-하밀턴 구조를 갖춘 일반적인 자동차 로우는 모델 클래스. 우리는 스펙트럼 분석 및 다변량 Ornstein-Uhlenbeck 프로세스의 점근 적 특성을 사용하여 주기적 경계 및 2 차 상호 작용 전위를 갖는 유한 시스템의 안정성 조건 및 장기 동작을 도출합니다. 통제되지 않은 역학은 확률 적 섭동 하에서 불안정성과 무작위 집단 행동을 나타냅니다. 오픈 루프 속도 제어를 구현함으로써 시스템은 가우스 한계 분포로 안정화되고 약하게 수렴됩니다. 일정한 속도 제어에 대한 수렴은 무조건적이다. 그러나, 속도 제어가 앞으로의 거리에 따라 동적 피드백으로 작용하는 폐쇄 루프 시스템의 안정성 조건이 발생합니다. 결과는 수치 시뮬레이션으로 설명됩니다. 흥미롭게도, 폐쇄 루프 시스템만이 모델의 해밀턴 구성 요소를 사용하여 해결할 수있는 적어도 일시적으로 현실적인 정지 및 이동 동작을 재현 할 수 있습니다. AMS 분류 : 76A30, 82C22, 60H10, 37H30 키워드 : 자동차 가로지는 모델, 포트-호 밀턴 시스템, 오픈 루프 시스템, 폐쇄 루프 시스템, 장기 동작 1 소개 PHS (Port-Hamiltonian System) 소개는 에너지 기반 구조 및 기생충 Phenomenge의 기본 프레임 워크가되어 복잡한 물리적 시스템을 통합 할 수있는 복잡한 물리적 시스템이되었습니다. 이 수학적 패러다임은 에너지 절약 및 교환이 시스템 역학의 중심 인 로봇, 전자 회로 및 열역학과 같은 영역에 널리 적용되어왔다 [1]. Knorn et al.의 최근 결과에서 영감을 얻었습니다. [2] 및 Matei et al. [3], 우리는 입력 상태의 포트-하밀턴 구조를 가진 일반적인 확률 론적 차량 팔로우링 모델을 형성했다 [4, 5, 6]. 이 Port-Hamiltonian 공식화는 자동차를 따르는 역학 분석을위한 새로운 모델링 패러다임을 소개합니다. 이 작업에서, 우리는 입력 상태 포트-하밀턴 프레임 워크 내에 공식화 된 새로운 클래스의 확률 론적 자동차 추종 모델을 제시합니다. 우리의 접근법은 특히 Bando et al. [7] 및 Jiang et al. [8] 최적의 1 ARXIV : 2502.00370V1 [MATH.DS] 1 월 1 일 2025 년 2 월 1 일 속도 함수. 그러나, 상호 작용이 완전히 비대칭 인 고전적인 접근법과 달리, 포트-하밀턴 자동차를 팔로우는 모델은 상호 작용의 앞뒤에 두 차량을 포함한다. PHS 제형을 활용함으로써, 우리는 소음과 외부 제어 입력을 자동차로 팔로우하는 역학에 체계적으로 통합하여 통제되지 않은 트래픽 시스템과 제어되지 않은 트래픽 시스템에 대한 포괄적 인 분석을 가능하게합니다. 이 확장은 실제 트래픽과 실험에서 현재 관찰되는 정지 및 이동파와 같은 안정성 및 출현 동작에 대한 새로운 통찰력을 제공합니다 [9, 10]. 제안 된 모델은 운전자 동작에 대한보다 현실적인 설명을 제공한다고 주장하지 않습니다. 그러나, 그들은주기적인 경계 조건을 갖는 다변량 확률 론적 미분 방정식으로 자동차를 팔로우하는 역학의 엄격한 수학적 공식을 도입함으로써 이전 연구를 확장한다. 특히, 해밀턴 프레임 워크를 통해 우리는 이러한 시스템의 점근 적 거동을 분석하여 다변량 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 프로세스의 스펙트럼 이론 및 특성을 활용할 수 있습니다. … 더보기의 확률 적 특성
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