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English Summary
This paper presents an efficient technique for solving the three-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation applicable to problems where symmetries do not exist, reducing dimensionality. Examples include arbitrarily oriented molecules in external fields and atoms interacting with elliptically polarized light. The method decomposes three-dimensional problems into two two-dimensional problems by introducing trivial rotation transformations. Numerical results are supplemented for strong-field ionization of arbitrarily oriented H2 molecules.
Key Technical Terms
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- Three-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation [Wikipedia (Ko)] [Wikipedia (En)] [나무위키] [Google Scholar] [Nature] [ScienceDirect] [PubMed]
Explanation: Representation in spherical coordinates with wave functions of the form ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), separating into radial wave function Rnl(r) and spherical harmonics Ylm(θ, φ). - Reduced wave function [Wikipedia (Ko)] [Wikipedia (En)] [나무위키] [Google Scholar] [Nature] [ScienceDirect] [PubMed]
Explanation: Function II l=0 m=−l (Φ = rΨ) representing the coordinates outstanding problem remains. The problem is reduced in spherical coordinates with a solution of the form II l=0 m=−l (Φ = rΨ) expressing the angular variables in basis of spherical harmonics and writing the reduced wave function as ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), representing the time dependence discretely. - Rotation transformation [Wikipedia (Ko)] [Wikipedia (En)] [나무위키] [Google Scholar] [Nature] [ScienceDirect] [PubMed]
Explanation: Representation in coordinates denoted by superscripts M (ΦM) with respect to laboratory coordinate system L (L). The rotation is accomplished by an α rotation around zL axis, followed by a β rotation around yM-axis and finally a γ rotation around zM-axis. For the case where polarization axis is parallel to z axis in order to propagate by field interaction, operators V (t) are marked black and TDSE for electronic motion grey. This propagation scheme allows decoupling of different m states means function satisfies equation with Hamiltonian [atomic units]: ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), where operators V (t) are written as Vr,θL(t) + Vr,θM , and Tr and Tl act on variables in geometries with azimuthal symmetry.
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Solving the m-mixing problem for the three-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation by rotations: application to strong-field ionization of H2+ T. K. Kjeldsen, L. A. A. Nikolopoulos, and L. B. Madsen Lundbeck Foundation Theoretical Center for Quantum System Research, Department of Physics and Astronomy, University of Aarhus, 8000 Aarhus C, Denmark. We present a very efficient technique for solving the three-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation. Our method is applicable to a wide range of problems where a fullly three-dimensional solution is required, i.e., to cases where no symmetries exist that reduce the dimensionally of the2006 problem. Examples include arbitrarily oriented molecules in external fields and atoms interacting with elliptically polarized light. We demonstrate that even in such cases, the three-dimensional problem can be decomposed exactly into two two-dimensional problems at the cost of introducing a trivial rotation transformation. We supplement the theoretical framework with numerical resultsDec + on strong-field ionization of arbitrarily oriented H2 molecules. 22 PACS numbers: 02.70.-c,33.80.Rv I. INTRODUCTION tremely time-consuming and computationally demand- ing. In atomic physics the spherical symmetry of atoms In the course of our recent work concerned with promotes the spherical coordinates to a special position. alignment-dependent response of molecules to strong ex- The three independent variables are (r, θ, φ), with r the ternal fields we found a solution that speeds up the cal- radial distance of the electron with respect to the nu- culation by the use of an exact mapping of the three- cleus, θ the polar angle and φ the azimuthal angle. The dimensional problem to two two-dimensional problems. Schr¨odinger equation for the hydrogen atom is separa- In the following we discuss the method by the specific ble in these coordinates with wave functions of the form example of the response of an arbitrarily oriented di- ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) separated into a…
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한글 요약 (Korean Summary)
이 논문은 대칭이 존재하지 않는 문제에 적용 할 수있는 3 차원 시간 의존적 Schr¨odinger 방정식을 해결하기위한 효율적인 기술을 제시하여 차원을 감소시킨다. 예는 외부 필드의 임의로 배향 된 분자와 타원형 편광과 상호 작용하는 원자를 포함한다. 이 방법은 사소한 회전 변환을 도입하여 3 차원 문제를 두 가지 2 차원 문제로 분해합니다. 수치 결과는 임의로 배향 된 H2 분자의 강한 필드 이온화를 위해 보충된다.
주요 기술 용어 (한글 설명)
- Three-dimensional time-dependent Schr¨odinger equation
설명 (Korean): 구형 좌표에서 표현은 ψnlm (r) = rnl (r) ylm (θ, φ)의 파동 함수와 함께, 방사형 파 함수 RNL (R) 및 구형 고조파 YLM (θ, φ)으로 분리된다.
(Original English: Representation in spherical coordinates with wave functions of the form ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), separating into radial wave function Rnl(r) and spherical harmonics Ylm(θ, φ).) - Reduced wave function
설명 (Korean): 함수 II L = 0 M = -L (φ = rr (φ = Rψ)은 좌표를 나타내는 미결제 문제가 남아 있습니다. 문제는 구형 고조파의 기준으로 각도 변수를 표현하고 감소 된 파동 함수를 ψnlm (r) = rnl (r) ylm (θ, φ)으로 작성하여 각 변수를 표현하는 형태 II l = 0 m = -l (φ = rψ)의 솔루션으로 구형 좌표로 감소합니다.
(Original English: Function II l=0 m=−l (Φ = rΨ) representing the coordinates outstanding problem remains. The problem is reduced in spherical coordinates with a solution of the form II l=0 m=−l (Φ = rΨ) expressing the angular variables in basis of spherical harmonics and writing the reduced wave function as ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), representing the time dependence discretely.) - Rotation transformation
설명 (Korean): 실험실 좌표 시스템 L (L)와 관련하여 SuperScripts M (φm)으로 표시되는 좌표의 표현. 회전은 ZL 축 주위의 α 회전에 의해 달성 된 후, YM 축 주위의 β 회전과 마지막으로 ZM 축 주위의 γ 회전에 의해 달성된다. 필드 상호 작용에 의해 전파되기 위해 편광 축이 z 축에 평행 한 경우, 연산자 v (t)는 전자 모션 회색의 경우 검은 색 및 TDSE로 표시됩니다. 이 전파 체계는 다른 m 상태의 분리를 허용한다는 것은 기능을 의미한다는 것을 의미합니다. 기능은 해밀턴 [원자 단위] : ψnlm (r) = rnl (r) ylm (θ, φ), 여기서 연산자 v (t)는 az az aripries에서 변수에서 θl (t) + vr, θm 및 tl action에서 vr, tr 및 tl action으로 작성됩니다.
(Original English: Representation in coordinates denoted by superscripts M (ΦM) with respect to laboratory coordinate system L (L). The rotation is accomplished by an α rotation around zL axis, followed by a β rotation around yM-axis and finally a γ rotation around zM-axis. For the case where polarization axis is parallel to z axis in order to propagate by field interaction, operators V (t) are marked black and TDSE for electronic motion grey. This propagation scheme allows decoupling of different m states means function satisfies equation with Hamiltonian [atomic units]: ψnlm(r) = Rnl(r)Ylm(θ, φ), where operators V (t) are written as Vr,θL(t) + Vr,θM , and Tr and Tl act on variables in geometries with azimuthal symmetry.)
발췌문 한글 번역 (Korean Translation of Excerpt)
회전에 의한 3 차원 시간 의존적 Schr¨odinger 방정식에 대한 M 혼합 문제 해결 : H2+ T. K. Kjeldsen, L. A. A. Nikolopoulos 및 L. B. Madsen Lundbeck Foundation의 이론적 센터, 물리학 및 Aarhus, Aarhus, Aarhus, University of Aarhus. 우리는 3 차원 시간 의존적 Schr¨odinger 방정식을 해결하기위한 매우 효율적인 기술을 제시합니다. 우리의 방법은 완전히 3 차원 솔루션이 필요한 광범위한 문제, 즉 2006 문제의 치수를 줄이는 대칭이 존재하지 않는 경우에 적용됩니다. 예는 외부 필드의 임의로 배향 된 분자와 타원형 편광과 상호 작용하는 원자를 포함한다. 우리는 그러한 경우에도 사소한 회전 변환을 도입하는 비용으로 3 차원 문제가 두 가지 2 차원 문제로 정확하게 분해 될 수 있음을 보여줍니다. 우리는 임의로 배향 된 H2 분자의 강력한 이온화에 대한 수치 resultsdec +로 이론적 프레임 워크를 보충합니다. 22 PACS 번호 : 02.70.-C, 33.80.RV I. 소개 엄청나게 시간이 많이 걸리고 계산 수요. 원자 물리학에서 최근 연구 과정에서 원자의 구형 대칭은 구형 좌표를 특수 위치로 촉진합니다. 세 가지 독립적 인 변수에 대한 분자의 정렬- 의존적 반응은 (r, θ, φ) (r, θ, φ)이며, 3 개의 클리 누스, θ φ chat azimuth angle의 정확한 맵핑을 사용하여 전자의 칼 방사성 거리를 가속화하는 솔루션을 발견했습니다. 두 가지 2 차원 문제에 대한 치수 문제. 수소 원자에 대한 Schr¨odinger 방정식은 분리되어 있습니다. 다음에서는 다음에서 우리는 이들 좌표에서 구체적으로 이들 좌표에 의한 방법에 대해 논의한다.
Source: arXiv.org (or the original source of the paper)
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