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Energy Estimators and Calculation of Energy Expectation Values in the Path Integral Formalism ⋆

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English Summary

The paper presents a methodology that improves convergence in path integral simulations, focusing on energy expectation values. By constructing analytical expressions for energy estimators at each level p and utilizing e�fective actions labeled by whole numbers p, the researchers demonstrate that energy expectation values converge to continuum as 1/Np. Monte Carlo simulations are performed on several models to verify these findings through numerical calculations of energy expectation values.

Key Technical Terms

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Energy Estimators and Calculation of Energy Expectation Values in the Path Integral2006 ⋆ Formalism Dec 27 J. Gruji´c ∗, A. Bogojevi´c, and A. Balaˇz Scientific Computing Laboratory, Institute of Physics P. O. Box 57, 11001 Belgrade, Serbia Abstract A recently developed method, introduced in Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 180403, Phys. Rev. B 72 (2005) 064302, Phys. Lett. A 344 (2005) 84, systematically improved the[cond-mat.stat-mech] convergence of generic path integrals for transition amplitudes. This was achieved by analytically constructing a hierarchy of N-fold discretized effective actions S(p)N labeled by a whole number p and starting at p = 1 from the naively discretized action in the mid-point prescription. The derivation guaranteed that the level p effective actions lead to discretized transition amplitudes differing from the continuum limit by a term of order 1/N p. Here we extend the applicability of the above method to the calculation of energy expectation values. This is done by constructing analytical expressions for energy estimators of a general theory for each level p. As a result of this energy expectation values converge to the continuum as 1/N p. Finally, we perform a series of Monte Carlo simulations of several models, show explicitly the derived increase in convergence, and the ensuing speedup in numerical calculation of energy expectation values of many orders of magnitude. Key words: Energy estimators, Path integral, Quantum theory, Effective action PACS: 05.30.-d, 05.10.Ln, 03.65.DbarXiv:cond-mat/0612645v1 ⋆Supported by the Ministry of Science and Environmental Protection of the Re- public of Serbia through project No. 141035. ∗Corresponding author. Email address: jelenagr@phy.bg.ac.yu (J. Gruji´c). Preprint submitted to Elsevier Science 8 November 2018 1 Introduction The path integral formalism first introduced by Feynman [4,5] represents a rich and flexible general mathematical setting for dealing with quantum and statistical theories. The most obvious success of path integrals has…

🇰🇷 한국어 보기 (View in Korean)

한글 요약 (Korean Summary)

이 논문은 에너지 기대 값에 중점을 둔 경로 적분 시뮬레이션의 수렴을 향상시키는 방법론을 제시합니다. 각 수준 P에서 에너지 추정기에 대한 분석적 표현을 구성하고 정수 P에 의해 표지 된 효율적인 행동을 활용함으로써, 연구자들은 에너지 기대 값이 연속체로 1/np로 수렴 함을 보여줍니다. Monte Carlo 시뮬레이션은 에너지 기대 값의 수치 계산을 통해 이러한 결과를 검증하기 위해 여러 모델에서 수행됩니다.

주요 기술 용어 (한글 설명)

  • Energy estimators
    설명 (Korean): 에너지 기대 값을 계산하기 위해 통계 역학에 사용되는 추정기, 연속체 한계에서 명시 적으로 사라지는 추가 항을 도입하여 경로 통합 시뮬레이션의 수렴 개선
    (Original English: Estimators used in statistical mechanics for calculating energy expectation values, improving convergence in path integral simulations by introducing additional terms that explicitly vanish in continuum limit)
  • Path integral
    설명 (Korean): 양자 및 통계 이론을 다루기 위해 Feynman이 도입 한 수학적 형식주의; 그것은 모든주기적인 궤적 q (t) = q (t + β)에 대한 적분을 포함하며, 여기서 t는 시간이고, q는 위치이며, β는 전파 시간 t를 나타냅니다.
    (Original English: A mathematical formalism introduced by Feynman to deal with quantum and statistical theories; it involves integrals over all periodic trajectories q(t) = q(t + β), where t is time, q is position, and β represents propagation time T)
  • Quantum theory
    설명 (Korean): 양자 시스템의 상호 작용을 설명하기 위해 경로 적분 형식을 사용하여 원자 규모로 입자의 거동을 다루는 물리학의 접근; 그것은 모든주기적인 궤적 q (t) = q (t + β)에 대한 적분을 포함하며, 여기서 t는 시간이고, q는 위치이며, β는 전파 시간 t를 나타냅니다.
    (Original English: An approach in physics that deals with the behavior of particles at atomic scale, using path integral formalism to describe quantum systems’ interactions; it involves integrals over all periodic trajectories q(t) = q(t + β), where t is time, q is position, and β represents propagation time T)
  • Stochastic self-similarity
    설명 (Korean): e- 감염 작용의 계층 구조를 조사하는 연구자들에 의한 경로 적분 이산화와 관련하여 연구 된 속성 (p) n 정수 p에 의해 라벨이 붙었다. 계층 구조를 통해 추정기가 어떻게 변화 해야하는지 이해하고 에너지 기대치 가치에 대한 수렴 증가를 보장합니다.
    (Original English: A property studied in relation to path integral discretizations by researchers investigating the hierarchy of e�fective actions S(p)N labeled by whole numbers p; it involves understanding how estimators need to change as we move through the hierarchy, ensuring increase in convergence for energy expectation values)
  • Effective action
    설명 (Korean): 중간 지점 처방 (p = 1에 해당)에서 순진한 이산화 된 동작 SN에서 구축 된 이들은 (p) n (a, b; t) = a (a, b, t) + o ((t/n)^p)로 구축 된 중간 지점 처방 (p = 1에 해당)에서 구축된다. 이 분석 구성은 에너지 기대 값에 대한 수렴을 증가시킵니다
    (Original English: Labeled by whole numbers p and built up from naively discretized action SN in mid-point prescription (corresponding to p = 1), it leads to discretized transition amplitudes converging as A(p)N(a, b; T) = A(a, b, T) + O((T/N)^p); this analytical construction increases convergence for energy expectation values)

발췌문 한글 번역 (Korean Translation of Excerpt)

에너지 추정기 및 경로의 에너지 예상 값의 계산 extlemal2006 ⋆ 12 월 27 일 J. Gruji´c *, A. Bogojevi´c 및 A. Balaˇz Scientific Computing Laboratory, Physics P. O. Box 57, 11001 Belgrade, Serbia Abstract a 최근에 발달 된 방법. Lett. 94 (2005) 180403, Phys. B 72 (2005) 064302, Phys. 레트 사람. 344 (2005) 84는 전이 진폭을위한 일반 경로 적분의 [cond-mat.stat-mech] 수렴을 체계적으로 개선했습니다. 이것은 정수 P로 표시된 N- 폴드 이산화 된 효과 행동의 계층 구조를 분석적으로 구성하고 중간 지점 처방에서 순진한 이산화 된 조치에서 p = 1에서 시작합니다. 도출은 차수 1/n p의 기간에 의해 연속체 한계와 다른 이산화 된 전이 진폭을 초래한다는 것을 보장했다. 여기서 우리는 위의 방법의 적용 가능성을 에너지 기대 값의 계산으로 확장합니다. 이것은 각 수준 p에 대한 일반 이론의 에너지 추정에 대한 분석 표현을 구성함으로써 수행됩니다. 이 에너지 기대 값의 결과로 연속체로 1/n p. 마지막으로, 우리는 여러 모델의 일련의 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행하고, 수렴의 도출 된 증가와 많은 크기의 에너지 기대 값의 수치 계산에서 이어지는 속도를 명시 적으로 보여줍니다. 핵심 단어 : 에너지 추정기, 경로 적분, 양자 이론, 효율적인 행동 PAC : 05.30.-d, 05.10.ln, 03.65.dbarxiv : cond-mat/0612645V1 ⋆ 프로젝트 번호 141035를 통해 세르비아의 과학 및 환경 보호부에 의해 지원됩니다. 이메일 주소 : jelenagr@phy.bg.ac.yu (J. Gruji´c). Elsevier Science에 제출 된 프리 프린트 2018 년 11 월 8 일 소개 FEYNMAN에 의해 ​​처음 소개 된 경로 적분 형식주의 [4,5]는 양자 및 통계 이론을 다루기위한 풍부하고 유연한 일반적인 수학적 설정을 나타냅니다. Path Integrals의 가장 명백한 성공은 …

Source: arXiv.org (or the original source of the paper)

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