요약본 (Summary):
This paper studies Cartesian subgroups in graph products of groups. Graph products are a way to combine multiple groups, and Cartesian subgroups are a specific type of subgroup that can be derived from these graph products. The paper focuses on the presentation (the set of generators and their relations) of Cartesian subgroups, as well as related numerical invariants such as rank and deficiency.
The authors consider the clique complex of the graph Γ, which is used to define the group GK = GΓ. They compute the rank of Cartesian subgroups using a method that involves counting the number of vertices in certain simplical complexes associated with the graph Γ. The paper also provides an alternative minimal set of generators for Cart(G, K), along with a small sufficient set of relations between them.
The authors give a recursive algorithm to compute the rank and relations in presentations of Cartesian subgroups. They show that these generators and relations have a geometric meaning in terms of paths in certain polyhedral products. The paper also gives a homological lower bound on the size of a presentation for Cartesian subgroups, and shows that this bound is always greater than or equal to the number of relations.
As a special case, the paper provides a small presentation of the commutator subgroup RC′ K in any right-angled Coxeter group, along with a lower bound on the number of relations in its presentation.
이 논문은 그룹의 그래프 제품에서 직교 하위 그룹을 연구합니다. 그래프 제품은 여러 그룹을 결합하는 방법이며, 직교 하위 그룹은 이러한 그래프 제품에서 파생 될 수있는 특정 유형의 하위 그룹입니다. 이 논문은 직교 하위 그룹의 프레젠테이션 (발전기 세트 및 관계)뿐만 아니라 계급 및 결핍과 같은 관련 수치 적 불변에 중점을 둡니다.
저자는 GK = Gγ 그룹을 정의하는 데 사용되는 그래프 γ의 도상 복합체를 고려합니다. 그들은 그래프 γ와 관련된 특정 단순한 복합체에서 정점의 수를 계산하는 방법을 사용하여 데카르트 하위 군의 순위를 계산합니다. 이 논문은 또한 카트 (G, K)에 대한 대체 최소 발전기 세트와 그들 사이의 충분한 충분한 관계 세트를 제공합니다.
저자는 데카르트 하위 그룹의 프레젠테이션에서 순위와 관계를 계산하기 위해 재귀 알고리즘을 제공합니다. 그들은 이러한 생성기와 관계가 특정 다면체 제품의 경로 측면에서 기하학적 의미를 가지고 있음을 보여줍니다. 이 논문은 또한 직교 하위 그룹에 대한 프레젠테이션 크기에 대해 상 동성 하한을 제공하며,이 경계는 항상 관계 수보다 크거나 동일하다는 것을 보여준다.
특별한 경우,이 논문은 모든 오른쪽 앵그리 동위 원집 그룹에서 정류자 하위 그룹 RC ‘K의 작은 프리젠 테이션과 프레젠테이션의 관계 수에 대한 하한을 제공합니다.
Excerpt from PDF:
arXiv:2412.19764v1 [math.GR] 27 Dec 2024 CARTESIAN SUBGROUPS IN GRAPH PRODUCTS OF GROUPS FEDOR VYLEGZHANIN Abstract. The kernel of the natural projection of a graph product of groups onto their direct product is called the Cartesian subgroup. This construction generalises commutator subgroups of right-angled Coxeter and Artin groups. Using theory of polyhedral products, we give a lower and an upper bound on the number of relations in presentations of Cartesian groups and on their defi- ciency. The bounds are related to the fundamental groups of full subcomplexes in the clique complex, and the lower bound coincide with the upper bound if these fundamental groups are free or free abelian. Following Li Cai’s approach, we also describe an algorithm that computes “small” presentations of Cartesian subgroups. 1. Introduction Let Γ be a simple graph on the vertex set [m] = {1, . . . , m} and G = (G1, . . . , Gm) be a sequence of discrete groups. The corresponding graph product [Gre90] GΓ := (G1 ∗· · · ∗Gm)/(gigj = gjgi, ∀{i, j} ∈Γ, ∀gi ∈Gi, ∀gj ∈Gj) interpolates between the free product and the direct product of G1, . . . , Gm as Γ varies between the edgeless graph and the complete graph. The Cartesian subgroup Cart(G, Γ) := Ker(GΓ →Gi × · · · × Gm) of the graph product was studied in [HR12, PV16, PV19]. As a group, Cart(G, Γ) depends only on the graph Γ and on cardinalities |Gi| of the groups Gi. This is well known for the classical Cartesian subgroup Ker(∗i Gi →Q i Gi) which corresponds to the edgeless graph and is free on P J⊂[m](|J| −1) Q i∈J |Gi \ {1i}| generators [Gru57, Theorem 5.1]. The right-angled Coxeter groups RCΓ := ⟨g1, . . . , gm | g2 i = 1, i = 1, . . . , m; gigj = gjgi, {i, j} ∈Γ⟩= (Z2)Γ and right-angled Artin groups RAΓ := ⟨g1, . . . , gm | gigj = gjgi, {i, j} ∈Γ⟩= ZΓ are special cases of the graph product construction. Their Cartesian subgroups are the commutator subgroups RC′ Γ = Cart(Z2, Γ) and RA′ Γ = Cart(Z, Γ). The classi- fying spaces of graph products and their Cartesian subgroups can be described as certain polyhedral products of topological spaces [PV16, BBC19] (see Proposition 2.5); conversely, the fundamental groups of some polyhedral products can be iden- tified with GΓ or Cart(G, Γ). For example, each simplicial complex K corresponds to the real moment-angle complex RK, a polyhedral product important in toric topology [BP15]. It is known that π1(RK) ∼= RC′ Γ = Cart(Z2, Γ) where Γ = sk1 K is the 1-skeleton of K. (In general, fundamental groups of polyhedral products are relative graph products, see [Dav12, Theorem 2.18].) 2020 Mathematics Subject Classification. 20F05, 20F55, 57M07; 20F36, 20F65, 57M05, 57S12. Key words and phrases. commutator subgroup, right-angled Coxeter group, graph product, polyhedral product. 1 CARTESIAN SUBGROUPS IN GRAPH PRODUCTS 2 We study presentations of Cartesian …더보기
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번역 (Translation):
ARXIV : 2412.19764V1 [Math.Gr] 12 월 27 일 2024 년 12 월 27 일 Cartesian Subroups Grup Fedor Vylegzhanin Abstract. 직접 제품에 대한 그룹의 그래프 곱을 자연스럽게 투영 한 커널을 직교 하위 그룹이라고합니다. 이 건설은 오른쪽 조절 된 동식주 및 아르틴 그룹의 통근자 하위 그룹을 일반화합니다. 다면체 제품의 이론을 사용하여, 우리는 직교 그룹의 프리젠 테이션과 그들의 불성성에 대한 관계의 수에 대해 더 낮게 및 상한을 제공합니다. 경계는 Clique Complex에서 전체 하위 컴플렉스의 기본 그룹과 관련이 있으며,이 기본 그룹이 자유 또는 자유 아벨 리안 인 경우 하부 경계는 상한과 일치합니다. Li Cai의 접근 방식에 따라 직교 하위 그룹의 “작은”프레젠테이션을 계산하는 알고리즘도 설명합니다. 1. 소개 γ를 정점 세트 [m] = {1 ,. . . , m} 및 g = (g1, …, gm)은 일련의 개별 그룹입니다. 해당 그래프 제품 [gre90] gγ : = (g1 * · · · · * gm)/(gigj = gjgi, ∀ {i, j} ∈ γ, ∀gi ∈Gi, ∀gj ∈GJ)는 자유 제품과 G1의 직접 생성물 사이를 보간합니다. . . , gm as γ는 edgeless 그래프와 전체 그래프마다 다릅니다. 카르테시아 서브 그룹 카트 (G, γ) : = ker (ker (gγ → gi × · · × gm)는 [HR12, pv16, pv19]에서 연구되었다. 그룹으로서, 카트 (g, γ)는 그래프 γ와 추기경에만 의존한다 | gi | 그룹의 gi. 이것은 Edgeless Graph에 해당하고 p j⊂ [m] (| j | −1) q i∈J | gi \ {1i} | 발전기 [GRU57, 정리 5.1]. 오른쪽 앵그리 공동 위치 그룹 rcγ : = ⟨g1,. . . , gm | g2 i = 1, i = 1,. . . , 중; gigj = gjgi, {i, j} ∈γ⟩ = (z2) γ 및 오른쪽 변형 아르틴 그룹 raγ : = ⟨g1,. . . , gm | gigj = gjgi, {i, j} ∈ Com = Zγ는 그래프 제품 구성의 특수한 경우입니다. 그들의 직교 하위 그룹은 정류자 하위 그룹 RC ‘γ = CART (Z2, γ) 및 RA’γ = CART (Z, γ)입니다. 그래프 제품의 분류 공간과 직교 하위 그룹은 토폴로지 공간의 특정 다면체 제품으로 설명 될 수있다 [PV16, BBC19] (법률 2.5 참조); 반대로, 일부 다면체 생성물의 기본 그룹은 Gγ 또는 CART (g, γ)와 관련 될 수있다. 예를 들어, 각각의 단순한 복합체 K는 토릭 토폴로지에서 중요한 다면체 생성물 인 실제 모멘트 앵글 복합체 RK에 해당한다 [BP15]. π1 (rk) ~ = rc ‘γ = cart (z2, γ)는 γ = sk1 k가 K의 1- 스켈레톤 인 것으로 알려져 있습니다 (일반적으로 다면체 제품의 기본 그룹은 상대 그래프 제품입니다. [Dav12, Theorem 2.18]. 20F05, 20F55, 57M07; 20F36, 20F65, 57M05, 57S12. 핵심 단어와 문구. 정류자 하위 그룹, 오른쪽 앵그리 동식주 그룹, 그래프 제품, 다면체 제품. 그래프 제품의 데카르트 하위 그룹 1 우리는 직교 프레젠테이션을 연구합니다 … 더보기
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