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A New Deflation Method For Verifying the Isolated Singular Zeros of Polynomial Systems

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This post, leveraging AI, summarizes and analyzes the key aspects of the research paper “A New Deflation Method For Verifying the Isolated Singular Zeros of Polynomial Systems”. For in-depth information, please refer to the original PDF.


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English Summary

In this paper, we propose a new deflation method that constructs a final deflated system with an isolated simple zero whose projection corresponds to the isolated singular zero of the input system. This method introduces new variables to represent the coefficients of linear combinations of related polynomials for accuracy in numerical implementation and proves that the size depends on the depth or multiplicity of p. Compared to previous methods, we compute derivatives of every polynomial fi to get needed regular at p, constructing a system F0 with maximal rank r at p. We also give further analysis on tolerances θ and ε for numerical cases. Our final system is perturbed with bounded perturbations.

Key Technical Terms

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A New Deflation Method For Verifying the Isolated Singular Zeros of Polynomial Systems Jin-San Chengb,c, Xiaojie Doua, Junyi Wenb,c 2018 aCollegebKLMM,of Science,AcademyCivilof MathematicsAviation Universityand Systemsof China,ScienceTianjin Chinese Academy of Sciences, Beijing cUniversity of Chinese Academy of Sciences, BeijingDec jcheng@amss.ac.cn xjdou@amss.ac.cn wenjunyi15@mails.ucas.ac.cn 30 January 1, 2019 Abstract[cs.SC] In this paper, we develop a new deflation technique for refining or verifying the isolated singular zeros of polynomial systems. Starting from a polynomial system with an isolated singular zero, by computing the derivatives of the in- put polynomials directly or the linear combinations of the related polynomials, we construct a new system, which can be used to refine or verify the isolated singular zero of the input system. In order to preserve the accuracy in numeri- cal computation as much as possible, new variables are introduced to represent the coefficients of the linear combinations of the related polynomials. To our knowledge, it is the first time that considering the deflation problem of polyno- mial systems from the perspective of the linear combination. Some acceleration strategies are proposed to reduce the scale of the final system. We also give some further analysis of the tolerances we use, which can help us have a better un-arXiv:1812.11534v1 derstanding of our method. The experiments show that our method is effective and efficient. Especially, it works well for zeros with high multiplicities of large systems. It also works for isolated singular zeros of non-polynomial systems. Key words. Polynomial system, deflation method, isolated singular zero, inter- val verification 1 Introduction Solving polynomial systems with singular zeros is always a challenge in algebraic and geometric computation. For an isolated simple zero of a polynomial system, the classical Newton’s method is widely used and quadratic convergent. However, for singular zeros of a polynomial system, Newton’s method is not fit for the…

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한글 요약 (Korean Summary)

이 논문에서, 우리는 투사가 입력 시스템의 분리 된 단일 0에 해당하는 분리 된 단순 0을 갖는 최종화 시스템을 구성하는 새로운 분해 방법을 제안한다. 이 방법은 수치 구현에서 정확도를위한 관련 다항식의 선형 조합 계수를 나타내는 새로운 변수를 도입하고 크기가 p의 깊이 또는 다중성에 의존한다는 것을 증명합니다. 이전의 방법과 비교하여, 우리는 모든 다항식 Fi의 파생물을 P에서 최대 순위 r 인 시스템 F0을 구성하여 P에서 정기적으로 필요합니다. 또한 수치 사례에 대해 공차 θ 및 ε에 대한 추가 분석을 제공합니다. 우리의 최종 시스템은 경계 섭동으로 교란됩니다.

주요 기술 용어 (한글 설명)

  • Polynomial system
    설명 (Korean): {다항식과 관련된 기능의 수학적 표현}
    (Original English: {A mathematical representation of functions that involve polynomials})
  • Singular zero
    설명 (Korean): {수학의 예외적 인 지점, 함수 값이 불분명하게 변하는}
    (Original English: {An exceptional point in mathematics, where the function value changes discontinuously})
  • Isolated singular zero
    설명 (Korean): {주변 포인트에 영향을 미치는 특정 유형의 특이점}
    (Original English: {A specific type of singularity with limited impact on surrounding points})
  • Linear combination
    설명 (Korean): {수학적 물체를 선형 함수의 합으로 표현하는 기술}
    (Original English: {A technique to represent a mathematical object as a sum of linear functions})
  • Newton’s method
    설명 (Korean): {반복 근사치를 기반으로 방정식을 해결하기위한 알고리즘 접근법}
    (Original English: {An algorithmic approach for solving equations, based on iterative approximation})

발췌문 한글 번역 (Korean Translation of Excerpt)

A New Deflation Method For Verifying the Isolated Singular Zeros of Polynomial Systems Jin-San Chengb,c, Xiaojie Doua, Junyi Wenb,c 2018 aCollegebKLMM,of Science,AcademyCivilof MathematicsAviation Universityand Systemsof China,ScienceTianjin Chinese Academy of Sciences, Beijing cUniversity of Chinese Academy of Sciences, Beijingdec jcheng@amss.ac.cn xjdou@amss.ac.ac.ac.cn wenjunyi15@mails.ucas.ac.cn 2019 년 1 월 1 일 Abstract [Cs.sc]이 백서에서는 Polynomial 시스템의 고립 된 특이 적 구역을 다시 제출하거나 검증하기위한 새로운 DEFLATION 기술을 개발합니다. 고립 된 단수 0을 갖는 다항식 시스템에서 시작하여, 인한 다항식의 파생물을 직접 또는 관련 다항식의 선형 조합을 계산함으로써, 우리는 새로운 시스템을 구성하여 입력 시스템의 분리 된 단수 0을 재조정하거나 검증하는 데 사용할 수 있습니다. 수치 계산의 정확성을 가능한 한 많이 보존하기 위해 관련 다항식의 선형 조합의 계수를 나타내는 새로운 변수가 도입됩니다. 우리가 아는 한, 선형 조합의 관점에서 다항식 시스템의 탈환 문제를 고려한 것은 이번이 첫 번째입니다. 최종 시스템의 규모를 줄이기 위해 일부 가속 전략이 제안됩니다. 우리는 또한 우리가 사용하는 공차에 대한 추가 분석을 제공하며, 이는 더 나은 UN-ARXIV : 1812.11534V1 방법을 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다. 실험은 우리의 방법이 효과적이고 효율적임을 보여줍니다. 특히, 대량의 대형 시스템이 높은 0에 적합합니다. 또한 비 폴리 동맥 시스템의 분리 된 단수 0에도 적용됩니다. 핵심 단어. 다항식 시스템, 분리 방법, 분리 된 단일 제로, 간 인증 1 소개 단수 제로를 가진 다항식 시스템을 해결하는 것은 항상 대수 및 기하학적 계산에서 어려운 과제입니다. 다항식 시스템의 분리 된 간단한 0의 경우, 클래식 뉴턴의 방법은 널리 사용되며 2 차 수렴입니다. 그러나 다항식 시스템의 단일 0의 경우 Newton의 방법은 …


Source: arXiv.org (or the original source of the paper)

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