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9912221

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English Summary

The paper focuses on two applications discovered during the last two years of Hopf algebras, which suggest an amazing link between mathematics and physics. Specifically, it explores Connes–Moscovici’s Hopf algebra in classical differential geometry, where vector fields form a Lie algebra leading to new generators of the Lie algebra: delta’s kji,l … . Rooted trees are generalized from dimension 1 to arbitrary dimensions. Additionally, Connes–Kreimer’s Hopf algebra in perturbative quantum field theory is explored, where antipode reproduces combinatorics of renormalization and produces local counterterms corresponding to Feynman graphs.

Key Technical Terms

Below are key technical terms and their explanations to help understand the core concepts of this paper. You can explore related external resources via the links next to each term.

View Original Excerpt (English)

hep-th/9912221 CPT-99/P.3814 Introduction to Hopf algebras in renormalization and noncommutative geometry ∗ Raimar Wulkenhaar †‡ Centre de Physique Th´eorique CNRS-Luminy, Case 907 13288 Marseille Cedex 9, France Abstract 1999 We review the appearance of Hopf algebras in the renormalization of quantum field theories and in the study of diffeomorphisms of the frame bundle important for index computations in noncommutative geometry.Dec 22 1 Introductory remarks This contribution focuses on two applications discovered during the last two years of the Hopf algebra of rooted trees. They suggest an amazing link between mathematics and physics. There exists an excellent review [1] of these topics, written by the authors of these ideas. In what follows I am going to explain parts of this development which I was able to understand. I hope it can be useful to somebody else. In mathematics, foliations provide a large class of examples of noncommuta- tive spaces and lead to an index problem for the transverse hypoelliptic operator [2]. The computation of the cocycles in the local index formula turned out to be extremely lengthy even in dimension one. Alain Connes and Henri Moscovici [3] were looking for an organizing principle for that calculation, which they found in the cyclic cohomology of a Hopf algebra HT obtained by the action of vector fields on a crossed product of functions by diffeomorphisms.arXiv:hep-th/9912221v1 Concerning physics, Dirk Kreimer [4] discovered that a perturbative quantum field theory carries in a natural way a Hopf algebra structure HR given by oper- ations on Feynman graphs. The antipode reproduces precisely the combinatorics of renormalization, i.e. it produces the local counterterms to make the divergent integral corresponding to the Feynman graph finite. Noticing that both Hopf algebras have formally a very similar structure, Connes and Kreimer gave the precise relation [5] between HT and HR. This…

🇰🇷 한국어 보기 (View in Korean)

한글 요약 (Korean Summary)

이 논문은 지난 2 년간의 HOPF 대수 기간 동안 발견 된 두 가지 응용 프로그램에 중점을 두어 수학과 물리학 사이의 놀라운 연관성을 제안합니다. 구체적으로, 그것은 고전적인 차이 지오메트리에서 Connes – Moscovici의 Hopf 대수를 탐색합니다. 여기서 벡터 필드는 거짓말 대수를 형성합니다. 뿌리 나무는 치수 1에서 임의의 치수로 일반화됩니다. 또한, 섭동 양자 필드 이론에서 Connes – Kreimer의 HOPF 대수는 탐구되며, 여기서 방지제는 재 정규화의 조합을 재현하고 Feynman 그래프에 해당하는 국소 반대를 생성합니다.

주요 기술 용어 (한글 설명)

  • Hopf Algebra
    설명 (Korean): 물리 연구에 사용되는 수학적 구조; 구체적으로, 그것은 고전적인 차이 지오메트리에서 Connes – Moscoviv의 Hopf 대수를 탐색하고 섭동 양자 필드 이론에서 Kreimer의 Hopf 대수학에서 Connes의 Connes를 탐색합니다.
    (Original English: A mathematical structure used in physics research; specifically, it explores Connes–Moscoviv’s Hopf algebra in classical differential geometry and Connes–Kreimer’s Hopf algebra in perturbative quantum field theory.)
  • Lie Algebra
    설명 (Korean): 상응하는 구조 상수를 갖는 벡터 공간으로 구성된 대수 시스템; 구체적으로, 그것은 델타의 kji … a = a = 1 t | a | a a a | a a | a | a |!
    (Original English: An algebraic system consisting of a vector space with corresponding structure constants; specifically, it explores Connes–Moscoviv’s Hopf algebra where delta’s kji … are obtained from δkji,A = a=1 t|A|a by attaching to each of its trees t|A|a a new vertex with labelℓsuccessivelyP|A|!to the right of each vertex.)
  • Rooted Tree
    설명 (Korean): 물리 연구에 사용되는 수학적 구조; 구체적으로, Connes – Moscoviv의 Hopf 대수를 치수 1에서 임의의 차원까지 일반화합니다. 각 정점의 오른쪽에 기호를 첨부하는 것입니다 … 연속적으로 p | a |!
    (Original English: A mathematical structure used in physics research; specifically, it generalizes Connes–Moscoviv’s Hopf algebra from dimension 1 to arbitrary dimensions. It involves attaching symbols … successivelyP|A|!to the right of each vertex.)

발췌문 한글 번역 (Korean Translation of Excerpt)

HEP-TH/9912221 CPT-99/P.3814 RAIMAR WULKENHAAR † \ CENTRE DE PHYSIQUE CNRS-LUMINY, CASE 907 13288 Marseille CEDEX 9, France Abstract에서 HOPF 대수학 소개 Abstraces 1999 We Revesping the HOME의 hehf algebras. 양자 필드 이론과 프레임 번들의 비정형 이론에 대한 연구에서 비 통신 지오메트리에서 인덱스 계산에 중요한 문제. 그들은 수학과 물리 사이의 놀라운 연관성을 제안합니다. 이 아이디어의 저자가 쓴이 주제에 대한 훌륭한 검토 [1]가 있습니다. 다음에 나는 이해할 수 있었던이 발전의 일부를 설명 할 것입니다. 다른 사람에게 유용 할 수 있기를 바랍니다. 수학에서, 잎은 비 공동 공간의 큰 예제를 제공하고 가로 hypoelliptic 연산자에 대한 색인 문제로 이어진다 [2]. 로컬 인덱스 공식에서 코시클의 계산은 차원에서도 매우 길다. Alain Connes와 Henri Moscovici [3]는 그 계산에 대한 조직적 원리를 찾고 있었는데, 그들은 di remorphism에 의한 함수의 교차 생성물에 대한 벡터 필드의 작용에 의해 얻은 Hopf 대수의 주기적 코호학에서 발견 된 것입니다. 섭동 양자 필드 이론은 자연스럽게 Feynman 그래프의 작업에 의해 제공되는 Hopf 대수 구조 HR을 자연스럽게 전달합니다. 이 반포드는 재 정규화의 조합을 정확하게 재현합니다. 두 HOPF 대수가 공식적으로 매우 유사한 구조를 가지고 있음을 알면 Connes와 Kreimer는 HT와 HR 사이의 정확한 관계를 제공했다 [5]. 이것…

Source: arXiv.org (or the original source of the paper)

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