Summary (English)
This scientific paper investigates the discrete Painlevé XXXIV hierarchy arising from gap probability distributions of Freud unitary ensembles.
The authors consider symmetric interval probability distributions and relate them to Hankel determinants generated by Freud weights.
They obtain difference equations for recurrence coefficients using Chen and Ismail’s ladder operator approach.
By using compatibility conditions, they derive differential-difference equations for the recurrence coefficients and establish their relationship with the logarithmic derivative of gap probabilities, nontrivial leading coefficients of monic orthogonal polynomials, and recurrence coefficients.
The paper focuses on analyzing Freud unitary ensembles under various Freud weight cases (m = 1, 2, and 3) and demonstrates that the logarithmic derivative of the gap probability can be expressed in terms of the recurrence coefficient, which satisfies the discrete Painlevé XXXIV hierarchy.
The authors consider symmetric interval probability distributions and relate them to Hankel determinants generated by Freud weights.
They obtain difference equations for recurrence coefficients using Chen and Ismail’s ladder operator approach.
By using compatibility conditions, they derive differential-difference equations for the recurrence coefficients and establish their relationship with the logarithmic derivative of gap probabilities, nontrivial leading coefficients of monic orthogonal polynomials, and recurrence coefficients.
The paper focuses on analyzing Freud unitary ensembles under various Freud weight cases (m = 1, 2, and 3) and demonstrates that the logarithmic derivative of the gap probability can be expressed in terms of the recurrence coefficient, which satisfies the discrete Painlevé XXXIV hierarchy.
요약 (Korean)
이 과학 논문은 프로이트 단일 앙상블의 갭 확률 분포에서 발생하는 불연속 진통제 xxxiv 계층을 조사합니다.
저자는 대칭 간격 확률 분포를 고려하고 프로이트 가중치에 의해 생성 된 Hankel 결정 요인과 관련시킵니다.
그들은 Chen과 Ismail의 사다리 운영자 접근법을 사용하여 재발 계수에 대한 차이 방정식을 얻습니다.
호환성 조건을 사용함으로써, 재발 계수에 대한 차등-차이 방정식을 도출하고 갭 확률의 로그 유도체와의 관계, 모닉 직교 다항식의 비 사소한 주요 계수 및 재발 계수.
이 논문은 다양한 프로이트 체중 사례 (M = 1, 2 및 3) 하에서 프로이트 단일 앙상블 분석에 중점을두고 갭 확률의 로그 유도체가 이산 진피 XXXIV 계층을 만족시키는 재발 계수의 관점에서 표현 될 수 있음을 보여줍니다.
저자는 대칭 간격 확률 분포를 고려하고 프로이트 가중치에 의해 생성 된 Hankel 결정 요인과 관련시킵니다.
그들은 Chen과 Ismail의 사다리 운영자 접근법을 사용하여 재발 계수에 대한 차이 방정식을 얻습니다.
호환성 조건을 사용함으로써, 재발 계수에 대한 차등-차이 방정식을 도출하고 갭 확률의 로그 유도체와의 관계, 모닉 직교 다항식의 비 사소한 주요 계수 및 재발 계수.
이 논문은 다양한 프로이트 체중 사례 (M = 1, 2 및 3) 하에서 프로이트 단일 앙상블 분석에 중점을두고 갭 확률의 로그 유도체가 이산 진피 XXXIV 계층을 만족시키는 재발 계수의 관점에서 표현 될 수 있음을 보여줍니다.
기술적 용어 설명 (Technical Terms)
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Excerpt (English Original)
The discrete Painlev´e XXXIV hierarchy arising from the gap probability distributions of Freud unitary ensembles Chao Min∗and Liwei Wang† 2024 December 25, 2024 Dec Abstract25 We consider the symmetric gap probability distributions of certain Freud unitary ensembles.
This problem is related to the Hankel determinants generated by the Freud weights supported on the com- plement of a symmetric interval.
By using Chen and Ismail’s ladder operator approach, we obtain[nlin.SI] the difference equations satisfied by the recurrence coefficients for the orthogonal polynomials with the discontinuous Freud weights.
We find that these equations, with a minor change of variables, are the discrete Painlev´e XXXIV hierarchy proposed by Cresswell and Joshi [J.
Phys.
A: Math.
Gen.
32 (1999) 655–669].
We also derive the differential-difference equations for the recurrence coefficients and show the relationship between the logarithmic derivative of the gap probabilities, the nontrivial leading coefficients of the monic orthogonal polynomials and the recurrence coefficients.
Keywords: Freud unitary ensembles; Gap probabilities; Orthogonal polynomials; Ladder operators; Recurrence coefficients; Discrete Painlev´e XXXIV hierarchy.
Mathematics Subject Classification 2020: 60B20, 42C05.arXiv:2412.18782v1 1 Introduction Consider a random matrix ensemble on the space of n × n Hermitian matrices M with the probability distribution n 1 e−Tr v0(M)dM, dM = dMii dRMijdIMij, Zn Yi=1 1≤i
.
.
, xn of M given by [21] n n 1 p (x1, x2, .
.
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, xn) dxj = (xj −xi)2 w0(xk)dxk, x1, x2, .
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, xn ∈R, Zn j=1Y 1≤i
This problem is related to the Hankel determinants generated by the Freud weights supported on the com- plement of a symmetric interval.
By using Chen and Ismail’s ladder operator approach, we obtain[nlin.SI] the difference equations satisfied by the recurrence coefficients for the orthogonal polynomials with the discontinuous Freud weights.
We find that these equations, with a minor change of variables, are the discrete Painlev´e XXXIV hierarchy proposed by Cresswell and Joshi [J.
Phys.
A: Math.
Gen.
32 (1999) 655–669].
We also derive the differential-difference equations for the recurrence coefficients and show the relationship between the logarithmic derivative of the gap probabilities, the nontrivial leading coefficients of the monic orthogonal polynomials and the recurrence coefficients.
Keywords: Freud unitary ensembles; Gap probabilities; Orthogonal polynomials; Ladder operators; Recurrence coefficients; Discrete Painlev´e XXXIV hierarchy.
Mathematics Subject Classification 2020: 60B20, 42C05.arXiv:2412.18782v1 1 Introduction Consider a random matrix ensemble on the space of n × n Hermitian matrices M with the probability distribution n 1 e−Tr v0(M)dM, dM = dMii dRMijdIMij, Zn Yi=1 1≤i
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, xn of M given by [21] n n 1 p (x1, x2, .
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, xn) dxj = (xj −xi)2 w0(xk)dxk, x1, x2, .
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, xn ∈R, Zn j=1Y 1≤i
발췌문 (Korean Translation)
프로이트 단일 앙상블 chao min * 및 liwei wang † 2024 년 12 월 25 일 12 월 초록의 갭 확률 분포에서 발생하는 불연속 진통증 xxxiv 계층 구조 25 우리는 특정 프로우드 단일 앙상블의 대칭 갭 확률 분포를 고려합니다.
이 문제는 대칭 간격의 구성에서 지원되는 프로이트 가중치에 의해 생성 된 손님 결정 요인과 관련이 있습니다.
Chen과 Ismail의 사다리 운영자 접근법을 사용함으로써, 우리는 불연속 프로이트 중량을 가진 직교 다항식에 대한 재발 계수에 의해 충족 된 차이 방정식을 얻습니다.
우리는 변수의 작은 변화가있는 이러한 방정식이 Cresswell과 Joshi가 제안한 개별 진통제 xxxiv 계층입니다 [J.
물리 A : 수학.
Gen.
32 (1999) 655–669].
우리는 또한 재발 계수에 대한 차이 간주 방정식을 도출하고 갭 확률의 로그 유도체, 원발 직교 다항식의 비 사소한 선도 계층과 재발 계열 사이의 관계를 보여줍니다.
키워드 : 프로이트 단일 앙상블; 갭 확률; 직교 다항식; 사다리 운영자; 재발 계수; 불연속 진피 xxxiv 계층.
수학 주제 분류 2020 : 60B20, 42C05.ARXIV : 2412.18782V1 1 소개 확률 분포 N 1 E -TR V0 (M) DM, DM = DMII DRMIJDIMIJ, ZN YI = 1 1 1110
.
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, [21] n n 1 p (x1, x2, …, xn) dxj = (xj -xi) 2 w0 (xk) dxk, x1, x2,.
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, xn ∈R, zn j = 1y 1≤i
이 문제는 대칭 간격의 구성에서 지원되는 프로이트 가중치에 의해 생성 된 손님 결정 요인과 관련이 있습니다.
Chen과 Ismail의 사다리 운영자 접근법을 사용함으로써, 우리는 불연속 프로이트 중량을 가진 직교 다항식에 대한 재발 계수에 의해 충족 된 차이 방정식을 얻습니다.
우리는 변수의 작은 변화가있는 이러한 방정식이 Cresswell과 Joshi가 제안한 개별 진통제 xxxiv 계층입니다 [J.
물리 A : 수학.
Gen.
32 (1999) 655–669].
우리는 또한 재발 계수에 대한 차이 간주 방정식을 도출하고 갭 확률의 로그 유도체, 원발 직교 다항식의 비 사소한 선도 계층과 재발 계열 사이의 관계를 보여줍니다.
키워드 : 프로이트 단일 앙상블; 갭 확률; 직교 다항식; 사다리 운영자; 재발 계수; 불연속 진피 xxxiv 계층.
수학 주제 분류 2020 : 60B20, 42C05.ARXIV : 2412.18782V1 1 소개 확률 분포 N 1 E -TR V0 (M) DM, DM = DMII DRMIJDIMIJ, ZN YI = 1 1 1110
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, [21] n n 1 p (x1, x2, …, xn) dxj = (xj -xi) 2 w0 (xk) dxk, x1, x2,.
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, xn ∈R, zn j = 1y 1≤i
출처: arXiv
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